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第八章:假设检验。

在参数估计后,这是统计推断类问题的另一部分。

假设检验

对总体分布中某些未知参数作某种假设,然后由抽取的样本构造合适的统计量,对假设进行判断真伪,称为假设检验。

提出的原假设记为 H0H_0,与之相反的备择假设记为 H1H_1.

「基本思想」

类似于反证法。很重要的思想是:

由于小概率事件在一次试验中几乎不可能发生,所以如果发生了,则有理由认为假设不成立。

拒真错误H0H_0 实际正确,拒绝 H0H_0取伪错误H0H_0 实际错误,接受 H0H_0.

显著性检验

设总体 XN(μ,σ2)X\sim N(\mu,\sigma^2)σ\sigma 已知,x1,x2,xnx_1,x_2\cdots,x_n 为来自 XX 的样本值,现对 μ\mu 进行假设检验。

试说明在显著性水平 α=0.05\alpha=0.05 下,关于 μ\mu 的检验问题 H0:μ=μ0H_0:\mu=\mu_0H1:μμ0H_1:\mu\neq \mu_0 的拒绝域为 z=xˉμ0σ/n>zα/2|z|=|\dfrac{\bar x-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}|>z_{\alpha/2}.

这里显著性水平 α\alpha 表示的是:拒真错误的概率,是小概率事件。

先认为 H0H_0 是正确的,则 XN(μ0,σ2)X\sim N(\mu_0,\sigma^2),有:

XˉN(μ0,σ2n)Xˉμ0σ/nN(0,1)\bar X\sim N(\mu_0, \frac{\sigma^2}{n})\quad \Rightarrow \frac{\bar X-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N(0,1)

然后结合正态分布的图像,可知拒绝域为两侧:

p{xˉμ0σ/n>zα/2}=αz=xˉμ0σ/n>zα/2p\left\{\left|\frac{\bar x-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\right|>z_{\alpha/2}\right\}=\alpha \quad\Rightarrow|z|=|\frac{\bar x-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}|>z_{\alpha/2}

在实际问题中,把 xˉ\bar x 等数值代入,就可以判断这个观察值是否在小概率区间(拒绝域),从而判断假设真伪。

正态总体的假设检验

H0H_0枢轴量H1H_1拒绝域
μμ0μμ0μ=μ0\begin{array}{}\mu\leq \mu_0 \\ \mu\geq \mu_0 \\ \mu=\mu_0\end{array}
σ2\sigma^2已知
Z=Xˉμσ/nN(0,1)\displaystyle Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1)μ>μ0μ<μ0μμ0\begin{array}{}\mu> \mu_0 \\ \mu< \mu_0 \\ \mu\neq\mu_0\end{array}$$\begin{array}{}z\geq z_\alpha \ z\leq -z_{\alpha} \
μμ0μμ0μ=μ0\begin{array}{}\mu\leq \mu_0 \\ \mu\geq \mu_0 \\ \mu=\mu_0\end{array}
σ2\sigma^2未知
T=XˉμS/nt(n1)\displaystyle T = \frac{\bar{X} - \mu}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1)μ>μ0μ<μ0μμ0\begin{array}{}\mu> \mu_0 \\ \mu< \mu_0 \\ \mu\neq\mu_0\end{array}$$\begin{array}{}t\geq t_\alpha(n-1) \ t\leq -t_{\alpha}(n-1) \
σ2σ02σ2σ02σ2=σ02\begin{array}{}\sigma^2\leq \sigma^2_0 \\ \sigma^2\geq \sigma^2_0 \\ \sigma^2=\sigma^2_0\end{array}
σ2\sigma^2已知
(n1)S2σ2χ2(n1)\displaystyle \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim \chi^2(n-1)σ2>σ02σ2<σ02σ2σ02\begin{array}{}\sigma^2> \sigma^2_0 \\ \sigma^2< \sigma^2_0 \\ \sigma^2\neq\sigma^2_0\end{array}χ2χα2(n1)χ2χ1α2(n1)χ2χα/22(n1) OR χ2χ1α/22(n1)\begin{array}{}\chi^2\geq \chi^2_\alpha(n-1) \\ \chi^2\leq \chi^2_{1-\alpha}(n-1) \\ \chi^2\geq \chi^2_{\alpha/2}(n-1)\text{ OR } \chi^2\leq \chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)\end{array}
假设检验
https://www.tonyyin0418.com/blog/probability/chap-8
Author TonyYin
Published at June 3, 2025
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