第八章:假设检验。
在参数估计后,这是统计推断类问题的另一部分。
假设检验
对总体分布中某些未知参数作某种假设,然后由抽取的样本构造合适的统计量,对假设进行判断真伪,称为假设检验。
提出的原假设记为 H0,与之相反的备择假设记为 H1.
「基本思想」
类似于反证法。很重要的思想是:
由于小概率事件在一次试验中几乎不可能发生,所以如果发生了,则有理由认为假设不成立。
拒真错误:H0 实际正确,拒绝 H0;取伪错误:H0 实际错误,接受 H0.
显著性检验
设总体 X∼N(μ,σ2),σ 已知,x1,x2⋯,xn 为来自 X 的样本值,现对 μ 进行假设检验。
试说明在显著性水平 α=0.05 下,关于 μ 的检验问题 H0:μ=μ0,H1:μ=μ0 的拒绝域为 ∣z∣=∣σ/nxˉ−μ0∣>zα/2.
这里显著性水平 α 表示的是:拒真错误的概率,是小概率事件。
先认为 H0 是正确的,则 X∼N(μ0,σ2),有:
Xˉ∼N(μ0,nσ2)⇒σ/nXˉ−μ0∼N(0,1)
然后结合正态分布的图像,可知拒绝域为两侧:
p{σ/nxˉ−μ0>zα/2}=α⇒∣z∣=∣σ/nxˉ−μ0∣>zα/2
在实际问题中,把 xˉ 等数值代入,就可以判断这个观察值是否在小概率区间(拒绝域),从而判断假设真伪。
正态总体的假设检验
H0 | 枢轴量 | H1 | 拒绝域 |
---|
μ≤μ0μ≥μ0μ=μ0 σ2已知 | Z=σ/nXˉ−μ∼N(0,1) | μ>μ0μ<μ0μ=μ0 | $$\begin{array}{}z\geq z_\alpha \ z\leq -z_{\alpha} \ |
μ≤μ0μ≥μ0μ=μ0 σ2未知 | T=S/nXˉ−μ∼t(n−1) | μ>μ0μ<μ0μ=μ0 | $$\begin{array}{}t\geq t_\alpha(n-1) \ t\leq -t_{\alpha}(n-1) \ |
σ2≤σ02σ2≥σ02σ2=σ02 σ2已知 | σ2(n−1)S2∼χ2(n−1) | σ2>σ02σ2<σ02σ2=σ02 | χ2≥χα2(n−1)χ2≤χ1−α2(n−1)χ2≥χα/22(n−1) OR χ2≤χ1−α/22(n−1) |